機械振動和機械波

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簡諧運動的基本概念

1.定義

物體在跟偏離平衡位置的位移大小成正比，并且總指向平衡位置的回復力的作用下的振動，叫簡諧運動。表達式為：F= -kx

⑴簡諧運動的位移必須是指偏離平衡位置的位移。也就是說，在研究簡諧運動時所說的位移的起點都必須在平衡位置處。

⑵回復力是一種效果力。是振動物體在沿振動方向上所受的合力。

⑶“平衡位置”不等于“平衡狀態(tài)”。平衡位置是指回復力為零的位置，物體在該位置所受的合外力不一定為零。（如單擺擺到最低點時，沿振動方向的合力為零，但在指向懸點方向上的合力卻不等于零，所以并不處于平衡狀態(tài)）

⑷F=-kx是判斷一個振動是不是簡諧運動的充分必要條件。凡是簡諧運動沿振動方向的合力必須滿足該條件；反之，只要沿振動方向的合力滿足該條件，那么該振動一定是簡諧運動。

2.幾個重要的物理量間的關(guān)系

要熟練掌握做簡諧運動的物體在某一時刻（或某一位置）的位移x、回復力F、加速度a、速度v這四個矢量的相互關(guān)系。

⑴由定義知：F∝x，方向相反。

⑵由牛頓第二定律知：F∝a，方向相同。

⑶由以上兩條可知：a∝x，方向相反。

⑷v和x、F、a之間的關(guān)系最復雜：當v、a同向（即 v、 F同向，也就是v、x反向）時v一定增大；當v、a反向（即 v、 F反向，也就是v、x同向）時，v一定減小。

3.從總體上描述簡諧運動的物理量

振動的最大特點是往復性或者說是周期性。因此振動物體在空間的運動有一定的范圍，用振幅A來描述；在時間上則用周期T來描述完成一次全振動所須的時間。

⑴振幅A是描述振動強弱的物理量。（一定要將振幅跟位移相區(qū)別，在簡諧運動的振動過程中，振幅是不變的而位移是時刻在改變的）

⑵周期T是描述振動快慢的物理量。（頻率f=1/T 也是描述振動快慢的物理量）周期由振動系統(tǒng)本身的因素決定，叫固有周期。任何簡諧振動都有共同的周期公式： （其中m是振動物體的質(zhì)量，k是回復力系數(shù)，即簡諧運動的判定式F= -kx中的比例系數(shù)，對于彈簧振子k就是彈簧的勁度，對其它簡諧運動它就不再是彈簧的勁度了）。

二、典型的簡諧運動

1.彈簧振子

⑴周期 ，與振幅無關(guān)，只由振子質(zhì)量和彈簧的勁度決定。

⑵可以證明，豎直放置的彈簧振子的振動也是簡諧運動，周期公式也是 。這個結(jié)論可以直接使用。

⑶在水平方向上振動的彈簧振子的回復力是彈簧的彈力；在豎直方向上振動的彈簧振子的回復力是彈簧彈力和重力的合力。

例1. 如圖所示，質(zhì)量為m的小球放在勁度為k的輕彈簧上，使小球上下振動而又始終未脫離彈簧。⑴最大振幅A是多大？⑵在這個振幅下彈簧對小球的最大彈力F_m是多大？

解：該振動的回復力是彈簧彈力和重力的合力。在平衡位置彈力和重力等大反向，合力為零；在平衡位置以下，彈力大于重力，F- mg=ma，越往下彈力越大；在平衡位置以上，彈力小于重力，mg-F=ma，越往上彈力越小。平衡位置和振動的振幅大小無關(guān)。因此振幅越大，在最高點處小球所受的彈力越小。極端情況是在最高點處小球剛好未離開彈簧，彈力為零，合力就是重力。這時彈簧恰好為原長。

⑴最大振幅應滿足kA=mg,   A=

⑵小球在最高點和最低點所受回復力大小相同，所以有：F_m-mg=mg，F_m=2mg

2.單擺。

⑴單擺振動的回復力是重力的切向分力，不能說成是重力和拉力的合力。在平衡位置振子所受回復力是零，但合力是向心力，指向懸點，不為零。

⑵當單擺的擺角很小時（小于5°）時，單擺的周期 ，與擺球質(zhì)量m、振幅A都無關(guān)。其中l為擺長，表示從懸點到擺球質(zhì)心的距離，要區(qū)分擺長和擺線長。

⑶小球在光滑圓弧上的往復滾動，和單擺完全等同。只要擺角足夠小，這個振動就是簡諧運動。這時周期公式中的l應該是圓弧半徑R和小球半徑r的差。

⑷擺鐘問題。單擺的一個重要應用就是利用單擺振動的等時性制成擺鐘。在計算擺鐘類的問題時，利用以下方法比較簡單：在一定時間內(nèi)，擺鐘走過的格子數(shù)n與頻率f成正比（n可以是分鐘數(shù)，也可以是秒數(shù)、小時數(shù)……），再由頻率公式可以得到：

例2. 已知單擺擺長為L，懸點正下方3L/4處有一個釘子。讓擺球做小角度擺動，其周期將是多大？

解：兩小球的運動都可看作簡諧運動的一部分，時間都等于四分之一周期，而周期與振幅無關(guān)，所以t_a= t_b；從圖中可以看出b小球的下落高度小于a小球下落高度的一半，所以E_a>2E_b。

例4. 將一個力電傳感器接到計算機上，可以測量快速變化的力。用這種方法測得的某單擺擺動過程中懸線上拉力大小隨時間變化的曲線如右圖所示。由此圖線提供的信息做出下列判斷：①t＝0.2s時刻擺球正經(jīng)過最低點；②t＝1.1s時擺球正處于最高點；③擺球擺動過程中機械能時而增大時而減??；④擺球擺動的周期約是T＝0.6s。上述判斷中正確的是       

      A.①③    B.②④   C.①②    D.③④

解：注意這是懸線上的拉力圖象，而不是振動圖象。當擺球到達最高點時，懸線上的拉力最小；當擺球到達最低點時，懸線上的拉力最大。因此①②正確。從圖象中看出擺球到達最低點時的拉力一次比一次小，說明速率一次比一次小，反映出振動過程擺球一定受到阻力作用，因此機械能應該一直減小。在一個周期內(nèi)，擺球應該經(jīng)過兩次最高點，兩次最低點，因此周期應該約是T＝1.2s。因此答案③④錯誤。本題應選C。

三、受迫振動與共振

1.受迫振動

物體在驅(qū)動力（既周期性外力）作用下的振動叫受迫振動。